Los números no dejan de sorprendernos. A veces, algo que parece sencillo se vuelve asombroso apenas empiezas a hacer cuentas. O, en este caso, a barajar unas cuantas cartas.
"Es bien sabido que, si barajas una baraja de cartas, acabarás con una combinación que probablemente nunca antes se había dado", explicó Matt Parker, divulgador de matemáticas y cómico, en su pódcast A Problem Squared.
"Hay tantísimas formas distintas de ordenar 52 naipes que la probabilidad de que a otra persona le haya salido exactamente la misma es, en la práctica, cero", añadió.
¿Será realmente cierto? ¿De verdad se pueden barajar unas meras 52 cartas de tantas maneras que cada vez que lo hacemos obtenemos una combinación única?
Ante la duda, lo retamos a que nos convenciera.
"Cuando dije eso no me di cuenta de cuán contundente era esa afirmación, pero estoy aquí para defenderla", respondió, aceptando el desafío.
Llegó con baraja en mano y la barajó más de una vez, "hasta que podamos decir que el orden es completamente aleatorio".
"Nadie había barajado nunca una baraja hasta dejarla exactamente así. ¡Estreno mundial, señoras y señores!".
Pero, ¿por qué está tan seguro de eso?
"Si quieres calcular de cuántas maneras puedes ordenar una baraja, te estás metiendo en el terreno de las matemáticas que llamamos combinatoria, que se ocupa de contar combinaciones.
"En concreto, estás utilizando lo que se llama un factorial, esos números que llevan un signo de exclamación al final. Y la verdad es que no podría ser más apropiado: hay pocas cosas en matemáticas que merezcan un signo de exclamación tanto como los factoriales, por ser tan sorprendentes".
Efectivamente, los factoriales hacen que las potencias parezcan insignificantes.
"Sí. Crecen de una manera tan absurdamente rápida… Y creo que lo que los hace todavía más sorprendentes es que aparecen en situaciones que, a primera vista, parecen tan pequeñas, tan sencillas, tan limitadas".
Volvamos a esa situación pequeña, sencilla y limitada que nos atañe: a que nos convenza de que cada vez que barajamos los naipes, creamos algo nunca antes visto.
¡52!!!!
Una baraja tiene 52 cartas, pero Matt propone comenzar calculando de cuántas maneras se podrían ordenar solamente las 13 cartas de diamantes, para hacernos una idea de las dimensiones que puede alcanzar un factorial.
Si las ordenaras tú, y no el azar, empezarías escogiendo una de las 13 posibilidades que tienes… cualquiera. Desde ese momento, ya habrías empezado a definir el orden de los naipes: ahora quedan 12 cartas entre las que elegir; luego 11… y así hasta el final.
Habrás creado uno de los muchísimos órdenes posibles, pues a cada paso tuviste varias opciones: la reina seguida del rey, o quizás el as, el 7… Pero ¿cuántos órdenes posibles hay exactamente?
Pues son 13!
Si eso no te dice nada, prepárate para que diga mucho, pues significa que tienes que multiplicar 13 x 12, y ese resultado por 11, y después por 10… hasta llegar al 1.
Al hacerlo, te das cuenta de lo rápido que vas pasando de un orden de magnitud a otro.
Mira los saltos: de unidades a decenas a cientos a miles a millones a decenas, cientos y miles de millones:
1 x 2 = 2
2 x 3 = 6
6 x 4 = 24
24 x 5 = 120
120 x 6 = 720
720 x 7 = 5.040
5.040 x 8 = 40.320
40.320 x 9 = 362.880
362.880 x 10 = 3.628.800
3.628.800 x 11 = 39.916.800
39.916.800 x 12 = 479.001.600
479.001.600 x 13 = 6.227.020.800
¿Ves cómo los números no solo se hacen grandes muy rápido, sino que crecen cada vez más deprisa a medida que avanzas?
Con todas las 52 cartas de una baraja, el número de combinaciones posibles es tan enorme que palabras como trillones, cuatrillones, quintillones, sextillones, etc. se quedan cortas.
Sencillamente, 52! es aproximadamente 8 × 10⁶⁷, o un 8 seguido por otros 67 dígitos. Pero si te gustan los resultados exactos…
52! = 80.658.175.170.943.878.571.660.636.856.403.766.975.289.505.440.883.277.824.000.000.000
La cantidad de posibilidades es gigante, sin embargo ¿realmente comprueba la afirmación de Matt?
"Tienes toda la razón. Tener tantísimas combinaciones posibles es una cosa, pero lo que realmente nos interesa es saber si dos barajados distintos han producido exactamente el mismo orden de cartas", dice el matemático.
"Para averiguarlo, tendríamos que comparar cada barajado con todos los que se hayan hecho antes".
Comprobar si, entre todas las veces que se ha barajado una baraja a lo largo de la historia, alguna vez dos de los resultados han coincidido sería, obviamente, imposible.
No obstante, Matt sigue defendiendo que es correcto afirmar que esa coincidencia nunca se ha dado.
No es cero, pero…
Entonces, cada vez que alguien baraja, obtiene un orden determinado. Y ese orden podría coincidir con cualquiera de los órdenes que hayan salido en barajados a lo largo de la historia.
Pero aunque haya muchísimas oportunidades de que se produzca una coincidencia, el número de órdenes posibles sigue siendo tan descomunal que la probabilidad de que dos coincidan sigue siendo minúscula, insiste Matt.
"Incluso si tuviéramos 10.000 millones de seres humanos barajando una vez por segundo durante más tiempo del que llevamos teniendo cartas, y después calculáramos cuál es la probabilidad de que dos de esos barajados coincidieran, seguiríamos hablando de una posibilidad entre 4 x 10²⁶.
"Es un número absurdamente grande. Sin embargo, estrictamente hablando, no es cero.
"Y aquí es donde la gente se enfada cuando digo que eso no ha ocurrido jamás, porque se queda atrapada en el hecho de que no es exactamente 0.
"Yo diría que es indistinguible de 0, o que, a efectos prácticos, es 0. Aunque quizá haya una forma más prudente de expresarlo.
"Hay distintos grados de lo que podríamos llamar 'prácticamente 0′. Si dices que algo tiene una probabilidad entre un millón, todavía puede ocurrir. Tenemos millones de personas.
"Si dices que es una posibilidad entre un billón o un trillón, llega un momento en que ni siquiera tenemos suficientes oportunidades en nuestro universo para que ocurra".
Tras escuchar muchas veces decir aquello de "en realidad no es cero", Matt ha hecho experimentos sobre cosas improbables, para hacerse una idea de lo que significa… cosas como pasar varios días lanzando una moneda al aire, una y otra vez.
"La lancé 10.000 veces para ver cuántas veces caía, no cara o sello, sino apoyada en el borde… y pasó 14 veces.
"Y pensé: '¡Ah!, es poco probable, pero está dentro de lo que puede ocurrir'.
"Cuando empiezas a intentar hacer cosas improbables, notas muy rápido la diferencia entre 1 probabilidad entre 1.000, 1 entre 10.000 y 1 entre 100.000. Y poco a poco comprendes qué cosas podrían o no podrían ocurrir en un año, en un mes o a lo largo de toda una vida.
"Al llegar a probabilidades de 1 entre 1.000 millones, te das cuenta de que no hay manera de que una sola persona llegue a presenciar algo así.
"Y si la probabilidad es de más de 20 dígitos, da igual cuántos seres humanos, cuántos planetas o cuántas galaxias haya: la probabilidad de que suceda es tan ridículamente pequeña que, en efecto, es 0".
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* Este artículo es una adaptación de un episodio de la serie de la BBC "More or Less", que explora los números en la vida. Escúchala en tu app de podcasts favorita
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