Natural de Baní, nació alrededor del año 1812, hijo de los señores Francisco Acosta (oriundo de España) y María Baltasara de los Reyes Bustamante.
Vino junto a sus padres a residir a Santo Domingo, allí se educó y formó.
Casó en primeras nupcias con Nicomedes Contreras Arias (hija de Francisco Contreras y de Juana Arias) y procrearon dos hijos: Ramón de la Cruz y Teresa de Jesús Acosta Contreras; volvió nuevamente a traer segundas nupcias con María Altagracia Báez Castillo (hija de Jerónimo Báez y de Francisca Castillo) y tuvieron tres hijos: Federico, Dolores y Andrés Acosta Báez. Juan Alejandro Acosta tuvo otros hijos con diferentes mujeres.
El historiador puertoplateño Refino Martínez nos lo ha descrito así: “Era de estatura mediana, grueso, color indio claro, el pelo negro y lacio, la nariz perfilada, y los ojos vivaces” (Diccionario Biográfico—Histórico Dominicano, 1821—1930. Santo Domingo, R. D, Editora UASD,.1971, página 21).
Acosta desde un principio fue simpatizador del grupo de los trinitarios y ayudó a los mismos.
El licenciado Emilio Rodríguez Demorizi ha acotado sobre él lo siguiente: “En 1843 ayudó a Duarte, a Pérez y a Pina a embarcarse en la balandra del Capitán Finlay, hacia Saint Thomas, para salvarse de la persecución haitiana. El 27 de Febrero de 1844 asistió a la memorable acción de la Puerta de El Conde, prestando grandes servicios en las operaciones militares que culminaron en la capitulación de los haitianos. Se le confió la misión de apoderarse de la marina y de encargarse de la defensa del Puerto, cosa que ejecutó resueltamente. Su participación en el movimiento fue de las principales. Tuvo el honor de firmar el Manifiesto de la Separación, del 16 de Enero de 1844. Su firma fue la primera en la Exposición del 31 de mayo del mismo año, a la Junta Central Gubernativa, en solicitud de ascensos militares para Duarte, Sánchez, Mella y José Joaquín Puello”. (La Marina de Guerra Dominicana. 1844—1861, Ciudad Trujillo, Editora Montalvo, 1958, Página 177).
El 2 de marzo de 1844, la Junta Central Gubernativa le encarga a Acosta en su calidad de Comandante de la goleta La Leonor, de ir a buscar a Juan Pablo Duarte y demás compañeros a Curazao para traerlos al país. Así cumplió su encomienda.
La Junta Central Gubernativa encargó de la organización de una Marina de Guerra a Juan Bautista Cambiaso, éste escogió como segundo hombre a Juan Alejandro Acosta, experimentado marino.
De acuerdo a Rodríguez Demorizi : “Junto con Cambiaso hizo la campaña de 1844 y se distinguió en el combate naval de Turtuguero y otros. Fue Comandante de la General Santana en la campaña de 1845, ano en que era Comandante del Puerto de Santo Domingo. Ostentaba el grado de Coronel de Marina en 1848 y durante la ofensiva de 1849 en que comandaba el bergantín 27 de febrero. Su segundo era el Capitán Naar”.
“En la ofensiva marítima de 1850 mandaba la fragata Cibao. En vista de amenazas de invasión haitiana, la flotilla dominicana, al mando de Acosta, zarpó del Ozama el 14 de mayo de 1854, hacia el Sur, llegando hasta Perdenales, dejando limpias de barcos enemigos, las aguas dominicanas. Desde el año anterior ostentaba el grado de General de Marina” (Obra citada, página 178).
En Revolución del 7 de julio de 1857 contra Buenaventura Báez, Acosta combatió a éste y se unió a las tropas rebeldes. Luchó en la parte Norte del país. Siempre se consideró un acérrimo enemigo de Báez.
Juan Alejandro Acosta, no estuvo de acuerdo con la anexión del país a España, proclamada el 18 de marzo de 1861 por su amigo el general Pedro Santana. No tuvo participación en la Guerra Restauradora de 1863.
En el Gobierno de los Seis años de Buenaventura Báez fue expulsado del país.
Carlos Aníbal Acosta Piña, nos ha dicho: “La carrera del héroe naval fue muy brillante, tocándole suceder en el mando de la Flotilla Nacional, a su amigo el Almirante Cambiaso. Su muerte ocurría el 3 de abril de 1886, en la ciudad de Santo Domingo” (Duarte y la Marina de Guerra, Volumen 3 del Instituto Duartiano Santo Domingo, Editorial CENAPEC, segunda edición, 1998, página 64).
Sus restos fueron exaltados en el Panteón Nacional en el año 1987.